[Opgelost] Lineaire variëteit

[Gill]

Vraag 6:
Wat is een lineaire variëteit? Is de kern van een lineaire afbeelding altijd een lineaire variëteit? Is dat ook omgekeerd?


Hm daar was ik ff in de war, als de kern een lineaire variëteit is is die te schrijven als Ker(f) = a + W, met W een deelruimte van V
We hebbe het beweze voor f^-1{b} altijd een lineaire variëteit is en omgekeerd (f^-1{b}=a + Ker(f) ), maar niet voor kern..
Moet ge deze dan nie gewoon anders schrijven als Ker(f) = f^-1{b} - a, of Ker(f) = a' + f^-1{b} om echt op zijn vraag te antwoorden?

[Ghenne Tom]

Ik zou u willen helpen, maar ik zit zelf in de knoei met die vraag

[aomlives]

Dit hebben we ondertussen al vrij uitvoerig besproken op het forum, in verschillende topics.

Volgens mij blijft het antwoord het volgende: (probeer het maar eens te weerleggen )

def lineaire variëteit L in V:

L = a + W met a vector van V en W deelruimte van W

We leggen hier dus duidelijk geen beperking op aan de vector a, die concreet gewoon een verschuiving tov de oorsprong betekent.

We hebben ook gezien (cfr def kern van een lineaire afbeelding) dat de kern een deelruimte is. Als we dus W = Ker f nemen en a = 0 volgt direct dat L = Ker f. Anderzijds zegt de definitie van de kern: Ker f = f-1{0} = {x element van V | f(x) = 0}

De kern is dus het invers beeld van de nulvector. We hebben ook aangetoond dat een lineaire variëteit te schrijven is als het invers beeld van een vector b. Als we nu b = 0 nemen, volgt weeral direct dat L = Ker f.

Om dus te besluiten. De kern van een lineaire afbeelding is altijd een lineaire variëteit (zij het een soort triviale). Omgekeerd is een lineaire variëteit altijd de kern van een lineaire afbeelding. Dit is duidelijk niet het geval gezien de kern altijd de nulvector bevat en een lineaire variëteit niet...

[Tom]

Om dus te besluiten. De kern van een lineaire afbeelding is altijd een lineaire variëteit (zij het een soort triviale). Omgekeerd is een lineaire variëteit altijd de kern van een lineaire afbeelding. Dit is duidelijk niet het geval gezien de kern altijd de nulvector bevat en een lineaire variëteit niet...

Ik ben niet bepaald een referentie om te oordelen op een vak waarvoor ik buis
Maar stel dat a de nulvector is?
Nergens wordt gezegd dat dit niet kan
In dit geval impliceert het dat de lineaire variëteit de nulvector WEL bevat (het is immers een lineaire afbeelding dan)

[aomlives]

Mja, dat schrijf ik toch?

[Tom]

ah, dan zal ik verkeerd geïnterpreteerd hebben

Dit is duidelijk niet het geval gezien de kern altijd de nulvector bevat en een lineaire variëteit niet...

Het is daarmee dat ik verward was....

[aomlives]

We leggen hier dus duidelijk geen beperking op aan de vector a

Ik bedoelde dit

En met de laatste zin wou ik zeggen dat de omgekeerde stelling "een lineaire variëteit is altijd de kern van een lineaire afbeelding" duidelijk niet opgaat omdat onder andere de nulvector niet altijd in een lineaire variëteit zit.

[Gill]

Da zou idd ook wel is de verklaring kunne zijn, maar volges mij moogt ge ook bewijzen 3.1.3 en 3.1.4 gebruiken om dit aan te tonen, nee? Als ge de vector a naar het andere lid brengt hebt ge ook een lineaire variëteit, namelijk Ker(f).

[aomlives]

Idd, da mag natuurlijk ook

[Rednas]

eum nog een klein vraagske:p

zou ge bv enkel stelling 3.1.3 mogen geven en daarbij aantonen dat de kern een lineaire variëteit is. Maar bij het omgekeerde geval gewoon zeggen da die vector a niet altij nul is dus is uw lineaire varieteit is niet altijd gewoon de kern ipv heel da bewijs van 3.1.4 te geven want kvin da nogal een verwarrend stuk:p