Kleine vraagjes Examenvragen

1ste semestervak op 6 studiepunten
Forumregels
Misschien werd je vraag al vorig jaar gesteld? Gebruik dus eerst de zoekoptie!

Er zijn formularia/samenvattingen aanwezig op de volgende link: viewtopic.php?f=19&t=93
dirk
Regelmatig forumgebruiker
Regelmatig forumgebruiker
Berichten: 76
Lid geworden op: 05 jan 2009, 13:20

Kleine vraagjes Examenvragen

Berichtdoor dirk » 30 jan 2009, 11:24

Vraag 5: In het bewijs van deze stelling in de cursus wordt er op een bepaald moment op het einde gewoon gezegd rg(A^t) = rg(B^t). Waarom kun je dat zeggen?

Vraag 6: De omgekeerde bewering wie ik niet direct...

Vraag 11: Hier wordt gezegd bij het bewijs (a11*1v - f) na (an-1n-1*1v - f) .....(x) = 0
En dit is dan hetzelfde als (a11*1v - f) * (an-1n-1*1v - f) .....(x) = 0

Iemand een idee waarom dat je dat mag zeggen. Dus waarom dat g na f = g * f? Intuitief lijkt mij dit logisch, maar ik vind dit nergens terug in de cursus...

Vraag 13: Volgende stap is een eigenschap die ik zelf niet vind: <x,x> = 0 --> x=0. Iemand die dit kan bewijzen?

Vraag 15: <w,z>*<z,w> = !<w,z>! Iemand die weet waarom dit geldt. In euclidische zou dit logisch zijn volgens mij, maar in prehilbertruimten is het inwendig product toch symmetrisch toegevoegd, waardoor je dat toch niet gewoon kunt omdraaien?

Vraag 16: Hier weet ik zelfs niet welke stelling bedoeld wordt...

Vraag 18: Waarom is f = lambda*1H en waarom kan je daaruit afleiden dat f diagonaal is tov eender welke basis?

Vraag 24: Waarom is f een isometrie?
Gebruikersavatar
Gill
Heeft dit forum graag
Heeft dit forum graag
Berichten: 166
Lid geworden op: 19 okt 2008, 16:29
Locatie: Ternat
Contacteer:

Re: Kleine vraagjes Examenvragen

Berichtdoor Gill » 30 jan 2009, 12:38

Kn al op een paar antwoorde de rest moetkk nog is goed bekijke:

Vraag 5: Er is kleine stelling erges ervoor die zegt dat als B = M^-1 A M
dat rg(B) = rg(N^-1 A M) (logisch, dimensie van het beeld is onafhankelijk van de gekozen basis)

Hierbij moeten N & M natuurlijk reguliere matrices zijn, om de inverse te kunne berekene
Nu kunt ge controlere dat de getransponeerde van een reguliere matrix ook een reguliere matrix is:
(Ge probeert als inverse matrix van M^t natuulrijk (M^-1)^t, en dan controlere of vermenigvuldiging de matrix In geeft, da klopt: M^t * (M^-1)^t = (M^-1 * M)^t = In^t = In)

B^t = (N^-1 A M)t = M^t * (N^-1 A)^t = M^t * A^t * (N^-1)^t

rg(B) = rg(N^-1 A M) met N en M reguliere matrices is dus hier weer van toepassing, dus is
rg(A^t) = rg(B^t)


Vraag 6: daar ben ik nog nie :) (doe de vrage in volgorde dat ze in reeksen staan ipv de samenvatting)
Vraag 11: Iets ervoor staat er in boek geschreven dat ge dit ook voor een functie kunt toepassen als ge overeenkomt dat f^n = f komt na f komt na f...... komt na f
Dus idd, als (a11*1v - f) komt na (a22*1v - f) komt na.... komt na (ann*1v - f) van X geldt voor elke X (wa hier het geval is), geldt dus dat het voor de functie in het algemeen geldt.

Vraag 13:
Contrapositie van positief definiet: een inwendig product is positief definiet als het > 0 voor elke inwendig product van x met zichzelf als x niet 0 is, contrapositie zegt dus dat als het <= 0 (of = 0) dat x de nulvector moet zijn.

Vraag 15: <w,z>*<z,w> = |<w,z>|²
Dat klopt inderdaad, het inwendig product in een prehilbertruimte geeft opnieuw een complex getal, dus kunt ge <w,z> = a + bi schrijven
Dus is <z,w> = a - bi (toegevoegd symmetrisch), dus is het product a² + b²

Nu |<w,z>| is dus de absolute waarde van een complex getal, en de absolute waarde van een complex getal is per definitie de modulus van da complex getal, norm is wortel van inwendig product met zichzelf (en we schreven <w,z> als a + bi) dus geldt:
<a+bi,a+bi> = (a+bi)*(a-bi) = a² + b², wortel ervan nemen geeft de absolute waarde, maar daarna wordt er weer gekwadrateerd dus valt de wortel weg en zie je idd dat <w,z><z,w> = |<w,z>|²

Vraag 16: ben ik nog niet aangekomen, zal antwoorden vanaf ik het heb

Vraag 18:
De dimensie van de eigenruimte is n, dus (zie vorige bewijzen) is V = H, en ge weet dat f(v)=lambda*v voor v, maar V = H, dus geldt het voor eender welke vector bij deze afbeelding, dus is onze afbeelding een afbeelding die elke vector stuurt op zichzelf (op een scalaire vermenigvuldiging na), dus geeft eender welke basis een diagonaalmatrix aangezien elke v (en dus ook uw gekozen basisveectren) als beeld lambda*v hebben. Dus is da idd hetzelfde als f = lambda * 1h (identieke afbeelding * lambda).

Vraag 24: Waarom is f een isometrie?
Geen flauw idee welke vraag ge bedoelt want ik heb er maar 23.. maaar ik kan wel raden welke ge bedoelt.

Isometrie behoudt norm, dus als ||f(x) - f(y) || = || x - y ||
maar ge hebt f(x) gedefinieerd als g(x) - g(0)
Dus is da hetzelfde als ||g(x) - g(0) - g(y) + g(0) || = || g(x) - g(y) ||, g is een isometrie dus is da gelijk aan ||x - y||

Hope I helped :)
Afbeelding
tettekop
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 31 jan 2009, 00:02

Kleine vraag Examenvragen

Berichtdoor tettekop » 31 jan 2009, 00:07

Bij stelling 8.1.6 (vraag 19)

staat : Om f te bepalen gaan we als volgt te werk.
a=SL(a)=SL(0)+f(a)

Waarom moge we a gelijkstellen aan SL(a)?
Tessa
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 19
Lid geworden op: 10 okt 2008, 20:23
Locatie: Affligem

Re: Kleine vraagjes Examenvragen

Berichtdoor Tessa » 31 jan 2009, 00:56

geen flauw idee want ik ben daar nog ni... ma die vraag is wel al is beantwoord op het forum weet ni of het je helpt
wim schreef:Wim heeft een antwoord op al uw vragen:
Zet je schrap, want hier komt een heleboel:
(ik laat overal de pijltjes weg, 't is maar dat ge het weet... ;))
Stel x = a + v + w
Stel y = a + v' + w'
(v,v' € V en w,w' € V-lood)

Schrijf !sL(x)-sL(y)!² uit:
!a+v-w-a-v'+w'!² = !v-w-v'+w'!² = <v-w-v'+w', v-w-v'+w'>
(bilineariteit vh inproduct)
=!v!²-<v,w>-<v,v'>+<v,w'>-<w,v>+!w!²+<w,v'>-<w,w'>-<v',v>+<v',w>+!v'!²-<v',w'>+<w',v>-<w',w>-<w',v'>+!w'!²
(symmetrie vh inproduct)
=!v!²+!w!²+!v'!²+!w'!²-2<v,w>-2<v',w'>-2<v,v'>-2<w,w'>+2<v,w'>+2<v',w>
(v en v' loodrecht op w en w')
=!v!²+!w!²+!v'!²+!w'!²-2<v,v'>-2<w,w'>

Schrijf nu !x-y!² uit:
!a+v+w-a-v'-w'!² = !v+w-v'-w'!² = <v+w-v'-w', v+w-v'-w'>
(bilineariteit)
= !v!²+<v,w>-<v,v'>-<v,w'>+<w,v>+!w!²-<w,v'>-<w,w'>-<v',v>-<v',w>+!v'!²+<v',w'>-<w',v>-<w',w>+<w',v'>+!w'!²
(symmetrie)
=!v!²+!w!²+!v'!²+!w'!²+2<v,w>+2<v',w'>-2<v,v'>-2<w,w'>-2<v,w'>-2<v',w>
(loodrecht)
=!v!²+!w!²+!v'!²+!w'!²-2<v,v'>-2<w,w'>

Identificatie van beide leden bewijst de gelijkheid 8-)

Voila, indien iemand hier een fout in vindt, mag die gerust mijn ego kwetsen door die te melden.

---Master of Algebra---
(yeah, right)
Gebruikersavatar
Gill
Heeft dit forum graag
Heeft dit forum graag
Berichten: 166
Lid geworden op: 19 okt 2008, 16:29
Locatie: Ternat
Contacteer:

Re: Kleine vraagjes Examenvragen

Berichtdoor Gill » 31 jan 2009, 10:46

euhm. gewoon x is te schrijve als a + v + w, maar als ge a neemt dan hebde gewoon a = a
en symmetrie stuurt op x + v - w, ma aangezien er geen componente in v en w zijn hebde gewoon sL(a) = a
Afbeelding

Terug naar “Lineaire Algebra”

Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

cron