[Opgelost] Complexe vectorruimtes

1ste semestervak op 6 studiepunten
Forumregels
Misschien werd je vraag al vorig jaar gesteld? Gebruik dus eerst de zoekoptie!

Er zijn formularia/samenvattingen aanwezig op de volgende link: viewtopic.php?f=19&t=93
Gebruikersavatar
Gill
Heeft dit forum graag
Heeft dit forum graag
Berichten: 166
Lid geworden op: 19 okt 2008, 16:29
Locatie: Ternat
Contacteer:

[Opgelost] Complexe vectorruimtes

Berichtdoor Gill » 18 jan 2009, 19:32

Kwas zo beetje door de voorbeeldexames aant bladeren van de oefeningen, en kzie da er nogal vaak gevraagd is om de matrix van een lineaire afbeelding f:C->M (bijvoorbeeld), tenopzichte van standaardbasissen te bepalen
Nu... 't is waarschijnlijk doodsimpel maar ik heb beetje moeite met die complexe vectorruimtes en kben het precies nog nie echt ergens tegengekome, wa is de standaardbasis van C en C^2? :oops:

Over die moeite met complexe vectorruimtes gesproken: oefening 9.4c
Basis E = {cosx, sinx}
Matrix ten opzichte van de basis
(0 -1)
(1 0)

Eigenwaardes: i, -i

1) eigenwaarde i: x=iy ; y element van C
2) eigenwaarde -i: x=-iy ; y element van C

En ja dan heb ik de neiging van intuitief als matrix
(i 0)
(0 -i)

Als diagonaalmatrix te nemen, met als basis (i, 1) en (-i, 1) (bij R is dit immers altijd zo...) maar ja hier neemt hij dan icosx + sinx en -icosx + sinx, wa is er daartussen juist gebeurd?
Laatst gewijzigd door Gill op 19 jan 2009, 11:57, 1 keer totaal gewijzigd.
Afbeelding
jorben
Op weg naar biggest IRW-fan!
Op weg naar biggest IRW-fan!
Berichten: 217
Lid geworden op: 29 dec 2008, 20:20

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor jorben » 18 jan 2009, 20:36

Ik zit met dezelfde vraag.
Gebruikersavatar
aomlives
IRW Moderator
IRW Moderator
Berichten: 407
Lid geworden op: 28 mei 2008, 17:24

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor aomlives » 18 jan 2009, 21:51

Wat de standaardbasis is van C naargelang het scalair veld kunt ge vinden op pagina 17.
Over R: {1,i}
Over C: {1} geloof ik

Over die oefening:
de vectoren in deze ruimte V zijn functies van R naar R en dus niet bijvoorbeeld koppels in het vlak of tripels in de ruimte. Dus {(i,1),(-i,1)} kan bijvoorbeeld niet.
Nu als eerste voorwaarde voor een eigenruimte hebben we x=iy, en [v]E=(x y) = y(i 1). Dus de eigenruimte Ei = {y(i.cos(x) + sin(x)} = vect{i.cos(x) + sin(x)}.
Tweede voorwaarde is x=-iy oftewel [v]E=(x y) = y(-i 1), en E(-i) = {y(-i.cos(x) + sin(x)} = vect{-i.cos(x) + sin(x)} = vect{i.cos(x) - sin(x)}

Bijgevolg is de basis {i.cos(x) + sin(x), i.cos(x) - sin(x)}.

Voila :P
Linux is like a wigwam. No Windows, no Gates and Apache inside.
Beerend
IRW-FAN!
IRW-FAN!
Berichten: 313
Lid geworden op: 30 sep 2008, 18:15
Locatie: Mechelen
Contacteer:

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor Beerend » 18 jan 2009, 22:31

Volgens mij zijn dit goeie basissen voor C:
{ (1,0) , (0,i) } als je het complex getal als een koppel schrijft: (a,bi)
of {a+bi | a,b in R}

Voor hogere dimensies van C moet je dan varianten verzinnen.
Gebruikersavatar
aomlives
IRW Moderator
IRW Moderator
Berichten: 407
Lid geworden op: 28 mei 2008, 17:24

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor aomlives » 18 jan 2009, 23:40

Mja, klopt: vect{1,i} = {a+bi|a,b in R} met R als scalair veld.

(dim(Cn) over R) = 2n
met als standaarbasis:
{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,...,0,1),(i,0,...,0),(0,i,...,0),...,(0,...0,i)}
Linux is like a wigwam. No Windows, no Gates and Apache inside.
Gebruikersavatar
Gill
Heeft dit forum graag
Heeft dit forum graag
Berichten: 166
Lid geworden op: 19 okt 2008, 16:29
Locatie: Ternat
Contacteer:

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor Gill » 19 jan 2009, 09:27

Dus voor C^2 dan:
{ (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,i,0), (0,0,0,i) } ?
Afbeelding
Tom De Smedt
Op weg naar biggest IRW-fan!
Op weg naar biggest IRW-fan!
Berichten: 223
Lid geworden op: 28 nov 2007, 22:30
Locatie: Ternat
Contacteer:

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor Tom De Smedt » 19 jan 2009, 09:34

Is het dan niet:

{ (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1), (0,0,i,0), (0,0,0,i), (0,0,i,0), (0,0,0,i) } ?


(Mijn algebra kennis dateert van vorig jaar, dus don't shoot me ;) )
Think Different.

Treasurer van BEST Brussels 2009 -2010
http://www.bestbrussels.be
Gebruikersavatar
AdamCooman
The IRW God
The IRW God
Berichten: 2376
Lid geworden op: 28 nov 2007, 18:19
Locatie: Aalst
Contacteer:

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor AdamCooman » 19 jan 2009, 10:22

ah nee e tom, want ge hebt 2 keer de (0,0,0,i) EN ge mankeert de (i,0,0,0)
AdamCooman The IRW God
Als een link niet meer werkt, bezoek mijn site om het bestand te vinden
Afbeelding

Mooiste avatar: AdamCooman
Beste moderator: AdamCooman
Beerend
IRW-FAN!
IRW-FAN!
Berichten: 313
Lid geworden op: 30 sep 2008, 18:15
Locatie: Mechelen
Contacteer:

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor Beerend » 19 jan 2009, 10:39

Het is makkelijk te zien dat C² wordt voortgebracht door { (a+bi , c+di) |a,b,c,d in R}
Je ziet dat C² dan 4-dimensionaal is, maar 't is niet echt een goeie notatie voor een basis.

{ (1,0) , (i,0) , (0,1) , (0,i) } lijkt mij wel in orde.
Elk koppel (z,w) met z,w in C kan dan toch geschreven worden als lineaire combinatie van de basisvectoren en de basisvectoren zijn lineair onafhankelijk. En er zijn ook nog eens 4 elementen in de basis.
Gebruikersavatar
Gill
Heeft dit forum graag
Heeft dit forum graag
Berichten: 166
Lid geworden op: 19 okt 2008, 16:29
Locatie: Ternat
Contacteer:

Re: Complexe vectorruimtes

Berichtdoor Gill » 19 jan 2009, 10:41

Ah dus, ge maakt geen extra "plaatskes" aan voor uw i.. Logisch want blijft lineair onafhankelijk.. Maar uw dimensie verdubbelt wel want ge hebt dubbel zoveel basisvectoren
Merci :)

En kan iemand mij helpen met mijn andere vraag?
1) eigenwaarde i: x=iy ; y element van C
2) eigenwaarde -i: x=-iy ; y element van C

En ja dan heb ik de neiging van intuitief
(i 0)
(0 -i)

als diagonaalmatrix te nemen, met als basis (i, 1) en (-i, 1) (bij R is dit immers altijd zo...) maar ja hier neemt hij dan icosx + sinx en -icosx + sinx, wa is er daartussen juist gebeurd?
Afbeelding

Terug naar “Lineaire Algebra”

Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

cron