Endomorfisme vs automorfisme

1ste semestervak op 6 studiepunten
Forumregels
Misschien werd je vraag al vorig jaar gesteld? Gebruik dus eerst de zoekoptie!

Er zijn formularia/samenvattingen aanwezig op de volgende link: viewtopic.php?f=19&t=93
Gebruikersavatar
aomlives
IRW Moderator
IRW Moderator
Berichten: 407
Lid geworden op: 28 mei 2008, 17:24

Endomorfisme vs automorfisme

Berichtdoor aomlives » 18 jan 2009, 18:00

Onderaan pagina 28 staan de begrippen endomorfisme en automorfisme uitgelegd.

Endomorfisme = lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf
Automorfisme = isomorfisme van een vectorruimte naar zichzelf

Een endomorfisme is dus van de vorm f: V -> V. Als we nu voor V nemen dim(V) = n, dan weten we dat begin en aankomstruimte dezelfde dimensie n hebben en door gevolg 2.2.11 krijgen we dan dat f dus een isomorfisme is. Maar dan is een lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf altijd een isomorfisme, en dat zou het begrip automorfisme toch overbodig maken? :shock:

Of niet? :P
Linux is like a wigwam. No Windows, no Gates and Apache inside.
Gebruikersavatar
Gill
Heeft dit forum graag
Heeft dit forum graag
Berichten: 166
Lid geworden op: 19 okt 2008, 16:29
Locatie: Ternat
Contacteer:

Re: Endomorfisme vs automorfisme

Berichtdoor Gill » 18 jan 2009, 19:04

Uhm 't is nogal lang geleden da'k de theorie geleerd heb en heb da examen pas helemaal op het einde dus op zo'n details kan ik nie direct antwoorden... En ik denk dat ik er ook naast zit, hier is wat ik dacht:
een lineaire afbeelding van V naar zichzelf impliceert toch niet meteen dat deze ook bijectief is? (wat immers de definitie is van isomorf).
Buiten als deze surjectief/injectief is (zie stelling alternatief), maw als ELK element van de toekomstruimte een functiewaarde is van een uniek element van de vertrekruimte.

Maar als ik mij niet vergis bestaan er ook afbeeldingen f: V -> V die niet surjectief zijn.
Als ge bijvoorbeeld f: R^n -> R^n : x |-> a neemt, die dus een willekeure vector x, (x1,...,xn), stuurt op de vaste vector a, (a1,...,an), is die duidelijk nie injectief en nie surjectief, maar wordt er wel gestuurd op R^n (dimensie n)
Maar als ik naar gevolg 2.2.11 zie zit ik inderdaad zelf in de knoop.. :D Nu, neem da gevolg 2.1.11 (vergeet ff voorbeeld van hierboven), dan kunt ge nog altijd een afbeelding f:V->V vinden die nie isomorf is. Het gevolg geldt immers enkel voor eindig-dimensionale vectorruimtes, dus als ge V oneindigdimensionaal neemt dan is die nie noodzakelijk isomorf en is er dus wel degelijk een onderscheid tussen automorf en endomorf.
Afbeelding
Gebruikersavatar
aomlives
IRW Moderator
IRW Moderator
Berichten: 407
Lid geworden op: 28 mei 2008, 17:24

Re: Endomorfisme vs automorfisme

Berichtdoor aomlives » 18 jan 2009, 22:14

Hmm ja het zal inderdaad iets met eindigdimensionaal en oneindigdimensionaal te maken hebben, want anders zie ik niet hoe ge voorbij dat gevolg 2.2.11 komt :P
Linux is like a wigwam. No Windows, no Gates and Apache inside.
Gebruikersavatar
Kenny M
Master in de forumwetenschappen
Master in de forumwetenschappen
Berichten: 1844
Lid geworden op: 28 okt 2008, 21:37

Re: Endomorfisme vs automorfisme

Berichtdoor Kenny M » 24 jan 2009, 14:30

Gill schreef:Maar als ik mij niet vergis bestaan er ook afbeeldingen f: V -> V die niet surjectief zijn.
Als ge bijvoorbeeld f: R^n -> R^n : x |-> a neemt, die dus een willekeure vector x, (x1,...,xn), stuurt op de vaste vector a, (a1,...,an), is die duidelijk nie injectief en nie surjectief, maar wordt er wel gestuurd op R^n (dimensie n)


u voorbeeld is geen endomorfisme dacht ik. Want die functie is ni lineair:
neem b=(b1,..,bn) en c=(c1,..,cn) dan is
f(b+c)=a en f(b)+f(c)=a+a=2a dus f(b+c)#f(b)+f(c) => ni lineair

denk dus ook da het eerder te maken heeft me eindigdimensionaal en oneindigdimensionaal
Brain, n. An apparatus with which we think that we think. (Ambrose Bierce)
Afbeelding Afbeelding
Gebruikersavatar
Gill
Heeft dit forum graag
Heeft dit forum graag
Berichten: 166
Lid geworden op: 19 okt 2008, 16:29
Locatie: Ternat
Contacteer:

Re: Endomorfisme vs automorfisme

Berichtdoor Gill » 24 jan 2009, 17:40

Kenny M schreef:
Gill schreef:Maar als ik mij niet vergis bestaan er ook afbeeldingen f: V -> V die niet surjectief zijn.
Als ge bijvoorbeeld f: R^n -> R^n : x |-> a neemt, die dus een willekeure vector x, (x1,...,xn), stuurt op de vaste vector a, (a1,...,an), is die duidelijk nie injectief en nie surjectief, maar wordt er wel gestuurd op R^n (dimensie n)


u voorbeeld is geen endomorfisme dacht ik. Want die functie is ni lineair:
neem b=(b1,..,bn) en c=(c1,..,cn) dan is
f(b+c)=a en f(b)+f(c)=a+a=2a dus f(b+c)#f(b)+f(c) => ni lineair

denk dus ook da het eerder te maken heeft me eindigdimensionaal en oneindigdimensionaal


daar had ik idd nie aan gedacht.. Oneindigdimensionaal ftw? :D
Afbeelding

Terug naar “Lineaire Algebra”

Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

cron