Vragen determinanten en lineaire afbeelding

1ste semestervak op 6 studiepunten
Forumregels
Misschien werd je vraag al vorig jaar gesteld? Gebruik dus eerst de zoekoptie!

Er zijn formularia/samenvattingen aanwezig op de volgende link: viewtopic.php?f=19&t=93
Jones
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 okt 2010, 21:20
Locatie: Dendermonde

Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor Jones » 22 dec 2010, 16:35

Dag iedereen

Ik heb een paar vragen over de determinant afbeelding:

1) Ik zie niet goed in hoe men in stelling 4.2.5 aantoont dat det(A)=det(At)

2) In het Lemma 4.2.7 zie ik niet in hoe dit kan volgen uit stelling 4.2.4

3) Waarom is een coordinaten afbeelding lineair stelling 2.2.10

Alvast bedankt.
Tom
Doctor in de forumwetenschappen
Doctor in de forumwetenschappen
Berichten: 3851
Lid geworden op: 05 okt 2008, 08:11
Locatie: Vilvoorde

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor Tom » 22 dec 2010, 17:55

2) het volgt niet uit de stelling, maar uit de redenering eraan voorafgaand
Boven formule (4.2) staat: e(s) det(I) = e(s)
En dat is net lemma 4.2.7

3) gaat het over dat bewijs voor oefening? (ik gebruik een online versie van de cursus, die wel redelijk oud is, dus mss heeft hij zen cursus aangepast tov 2 jaar geleden)
Bewijzen voor oefening moet je doorgaans niet kennen
Jones
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 okt 2010, 21:20
Locatie: Dendermonde

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor Jones » 22 dec 2010, 18:31

3) Maar in stelling 2.4.1 maken men gebruik van deze stelling/oefening (samenstelling van 2 isomorfismen is een isomorfisme)
normaal is het gemakkelijk om de lineairiteit aan te tonen, maar ik kom er hier niet uit...
wim
Master in de forumwetenschappen
Master in de forumwetenschappen
Berichten: 1991
Lid geworden op: 27 dec 2007, 21:40
Locatie: Sint-Pieters-Woluwe

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor wim » 22 dec 2010, 20:11

1) De eerste lijn is gewoon het opschrijven van de determinantformule
Lijn 1 -> 2: Als sigma in Sn zit, dan zit sigma-1 ook in Sn. De som over alle mogelijke permutaties in Sn is dus dezelfde als die over alle permutaties-1 in Sn. Verwissel dus overal sigma met sigma-1 en ge krijgt lijn 2
Lijn 2 -> 3:
In mijn ogen de moeilijkste overgang.
Stelling 4.1.8 zegt dat e(s) = e(s-1) dus dat is ok
Een makkelijke verklaring voor het feit dat ge de indexen zo moogt verwisselen ben ik vergeten, maar het volgende bewijsje lijkt mij wiskundig correct:

Begin met elke term van de som apart te bekijken (dus voor één specifieke sigma, die ik vanaf nu als s zal noteren).
De permutatie s-1 transformeert de index i naar een index j = s-1(i):
j = s-1(i)
Hieruit volgt onmiddellijk dat:
s(j) = s(s-1(i)) = i

Samengevat:
i = s(j)
s-1(i) = j

Door de formule voor det(A) als een product te schrijven, en hierin i door s(j) te vervangen, en s-1(i) door j, krijgt ge het resultaat, hier uitgeschreven:
det(A) =
SOM[s € Sn]( PI[i=1,n]( a_s-1(i),i ) ) =
SOM[s € Sn]( PI[i=1,n]( a_s-1(i),i ) ) =
SOM[s € Sn]( PI[j=1,n]( a_j,s(j) ) ) =
SOM[s € Sn]( PI[i=1,n]( a_i,s(i) ) )

Een beetje vreemde notatie, maar SOM[s € Sn]( ... ) stelt het sommatie-teken voor (grote Sigma), en PI het product-teken (grote Pi).
In de laatste overgang heb ik gewoon overal j door i vervangen, aangezien dit puur notatie is en niets aan de formule verandert.

lijn 3 -> 4: lijkt mij duidelijk. Lijn 3 stelt gewoon de formule voor van de determinant van At.


3) Om de lineariteit aan te tonen:
Neem 2 vectoren v en w (normaal met pijltje boven, maar dat gaat niet hier op het forum) uit V. Die kunt ge schrijven als een lineaire combinatie in de basis E={e1,...en}:
v=SOM[i=1,n]( ai.ei ) en w=SOM[i=1,n]( bi.ei )
waar SOM[i=1,n] de som is met i gaande van 1 tot n (sigma-teken met 'i=1' onderaan en 'n' bovenaan), ei zijn de basisvectoren (met een pijltje erboven), ai en bi zijn de coördinaten

v + w = SOM[i=1,n]( (ai+bi).ei )
zit dan duidelijk in V.

Dit zou moeten volstaan.
Afbeelding
- I only wear my sunglasses at night -
Jones
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 okt 2010, 21:20
Locatie: Dendermonde

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor Jones » 22 dec 2010, 20:25

merci :D
Gebruikersavatar
jules_h
Beginnend forumgebruiker
Beginnend forumgebruiker
Berichten: 20
Lid geworden op: 27 sep 2010, 18:33

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor jules_h » 22 dec 2010, 20:30

Zeg Tom,je spreekt daar over een onlineversie van de Cursus van prof. Cara, maar waar is die te vinden? OP zijn site vind ik het niet direct =-)
Tom
Doctor in de forumwetenschappen
Doctor in de forumwetenschappen
Berichten: 3851
Lid geworden op: 05 okt 2008, 08:11
Locatie: Vilvoorde

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor Tom » 22 dec 2010, 20:32

http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/linea.pdf

Op de site van Caenepeel, die gaf dat vak vroeger
de cursus is wel nog helemaal hetzelfde
Jones
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 okt 2010, 21:20
Locatie: Dendermonde

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor Jones » 27 dec 2010, 13:57

Dag iedereen,

Ik heb nog een paar vraagjes:

1a) In stelling 6.5.5 geven ze een bewijs voor het vectorieel product. In puntje 2 van dit bewijs zie ik niet zo goed in hoe ze van regel 2 naar regel 3 overgaan

2a) in stelling 8.1.6 zeggen ze dat sL een verplaatsing is als dimE-dimL even is, maar is hier een verklaring aan te geven waarom dat zo is?

3a) i.v.m. oefening 17.5 C3 kom ik er niet uit hoe je de lineaire termen zonder kwadratische termen moet wegwerken. Ze zeggen om nog een overgangsmatrix te ofzo maar het lukt mij niet.

Alvast bedankt.
nismets
Beginnend forumgebruiker
Beginnend forumgebruiker
Berichten: 22
Lid geworden op: 21 dec 2009, 10:58

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor nismets » 28 dec 2010, 00:19

om op vraag 1a te antwoorde;

als je nu op de vorige pagina de allereerste regel uitrekent
A vectorieel met B krijg je
(a3b2-a2b3)e1-(a1b3-a3b1)e2+(a1b2-a2b1)e3

nu is A vectorieel met B = c1e1+c2e2+c3e3
als je de termen in c1,c2,c3 gelijkstelt krijg je
c1=a2b3-a3b2
c2=..
c3=..

als je de determinant(a,b,c) op p33 uitrekent krijg je
c1*(a2b3-a3b2)-c2*(a1b3-a3b1)+c3*(a1b2-a2b1)

hier kan je de termen tussen de haakjes vervangen door c1,c2,c3
en dan krijg je (c1²+c2²+c3²)

khoop dak de juiste stap heb uitgelegd :p ma tis dus vooral rekene

succes
Jones
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 7
Lid geworden op: 19 okt 2010, 21:20
Locatie: Dendermonde

Re: Vragen determinanten en lineaire afbeelding

Berichtdoor Jones » 28 dec 2010, 01:06

merci, en twas de juiste stap ;)

Terug naar “Lineaire Algebra”

Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

cron