Pagina 1 van 1

Gramm-Schmidt-procede

Geplaatst: 26 jun 2009, 20:48
door Tom
Bij het bewijs van Gramm-Schmidt staat op bepaald moment dat b(1),b(2),..., b(m+1) lineair onafhankelijk is,en dat de dimensie m+1 is
en b(m+1) verschillend van 0
maar waar halen ze uit dat dat zo is?

Het is vast iets dom, maar men lineaire algebra kennis is er beetje op achteruit gegaan...

Re: Gramm-Schmidt-procede

Geplaatst: 26 jun 2009, 22:50
door aomlives
vect{b(1),b(2),...,b(m),b(m+1)} = vect{x(1),x(2),x(3),...,x(m),x(m+1)}

en x(1),x(2),x(3),...,x(m),x(m+1) is een eindig of aftelbaar stel lineair onafhankelijke vectoren (gegeven).

Dus vect{x(1),x(2),x(3),...,x(m),x(m+1)} is voortbrengend en l.o. dus vormt een basis met dimensie m+1. Uit 6.2.2 weten we dat b(1),b(2),...,b(m) l.o. zijn. En vect{b(1),b(2),...,b(m),b(m+1)} moet een ruimte voortbrengen gelijk aan dimensie van vect{x(1),x(2),x(3),...,x(m),x(m+1)}, nl. m+1. b(m+1) moet dus ook lineair onafhankelijk zijn, zodat b(1),b(2),...,b(m),b(m+1) een basis vormt met m+1 elementen.

Voorts is de nulvector altijd lineair afhankelijk, dus kan nooit een basisvector zijn. De basisvector b(m+1) is dus zeker niet gelijk aan 0.