[OPGELOST]Laurent reeks van tangens

1ste semestervak op 5 studiepunten
msonneve
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 14
Lid geworden op: 30 dec 2008, 11:41

[OPGELOST]Laurent reeks van tangens

Berichtdoor msonneve » 08 jan 2010, 22:14

Wie iemand hoe men de Laurentreeks van volgende functie kan opstellen:
f (z ) = (e^1/(z^2−4)) *tg(πz ) + sin(z−1)/(z-1)

Het probleem ligt vooral in de reeksontwikkeling van de tangens.
Tom
Doctor in de forumwetenschappen
Doctor in de forumwetenschappen
Berichten: 3851
Lid geworden op: 05 okt 2008, 08:11
Locatie: Vilvoorde

Re: Laurent reeks van tangens

Berichtdoor Tom » 08 jan 2010, 22:25

Das toch gewoon een sinus delen door een cosinus, en die 2 zijn beide standaard reeksen
(ale, dat zou ik op eerste zicht zeggen, mss dat er moeilijkheden zijn met die methode...)


Edit:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=tan(x)

Je moet maar eens op more clicken bij series representation...
Blijkbaar is het niet zon triviale reeks


Maar euhm, in welk punt moet je opstellen, of welke opgave is het?

Want ik heb zon vermoeden dat 1 van de 2 delen wel eens gelijk aan 0 kan zijn ofzo...
msonneve
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 14
Lid geworden op: 30 dec 2008, 11:41

Re: Laurent reeks van tangens

Berichtdoor msonneve » 09 jan 2010, 13:22

De opgave komt van het examen van jan 2008 en de vraag was: bepaal de convergentiestraal van de Laurentreeks van f(z) rond z=0.
De singulariteiten zijn: 1, +-1/2, +-2
Dus moet ge toch eerst de Laurentreeks hebben voor ge de convergentiestraal kunt bepalen?
Tenzij ge een of ander truukje kunt gebruiken?
Tom
Doctor in de forumwetenschappen
Doctor in de forumwetenschappen
Berichten: 3851
Lid geworden op: 05 okt 2008, 08:11
Locatie: Vilvoorde

Re: Laurent reeks van tangens

Berichtdoor Tom » 09 jan 2010, 13:31

0 is geen singulier punt, dat betekent dat de functie er analytisch is
Als de functie analytisch is, betekent het dat je de functie kan schrijven als een machtreeks -> taylor reeks

Dus, je moet simpelweg de taylor-ontwikkeling bepalen rond dat punt, en daarvan de convergentiestraal zoeken



(wow, ik had net een vlaag van intelligentie :p )
Als dat op mijn examen ook lukt...

Edit:
Ok, als ik er zo over nadenk heb ik eigenlijk niks nuttig gezegd...
Maar goed, ik heb het probleem wel gereduceerd tot een taylor reeks ipv een laurent reeks :D
Tom
Doctor in de forumwetenschappen
Doctor in de forumwetenschappen
Berichten: 3851
Lid geworden op: 05 okt 2008, 08:11
Locatie: Vilvoorde

Re: Laurent reeks van tangens

Berichtdoor Tom » 09 jan 2010, 13:36

Edit2:
Is je convergentiestraal niet gewoon de afstand tussen 0 en het dichtstbijzijnd singulier punt?
Conform oef 3.2



Deze is het juiste denk ik...(als je de redenering van vorige post in acht neemt dat het punt er analytisch is e.d.)
msonneve
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 14
Lid geworden op: 30 dec 2008, 11:41

Re: Laurent reeks van tangens

Berichtdoor msonneve » 09 jan 2010, 13:53

Afstand tot eerste sing punt: dat klinkt te simpel... Het was een examenvraag hé ;)
En tuurlijk dat dat een taylor is, want alle aparte reeksen beginnen van nul!
Ik dacht eerst met het convolutieproduct voor reeksen: sigma a(n-k)*z^(n-k) * b(k)*z^k Maar hoe doet ge dat bij deling van reeksen?
Tom
Doctor in de forumwetenschappen
Doctor in de forumwetenschappen
Berichten: 3851
Lid geworden op: 05 okt 2008, 08:11
Locatie: Vilvoorde

Re: Laurent reeks van tangens

Berichtdoor Tom » 09 jan 2010, 13:56

Klinkt simpel, maar ik zou niet weten hoe je het anders wil doen...

Examens zijn altijd simpel als je het antwoord leest, maar geef toe dat je er zelf niet was opgekomen he :p


Dit is je taylorreeks in dat punt:
sin(1)+z (-(e pi)/4+sin(1)-cos(1))+z^2 ((sin(1))/2-cos(1))+1/48 z^3 (-3 e pi-4 e pi^3+24 sin(1)-40 cos(1))+z^4 ((13 sin(1))/24-(5 cos(1))/6)+1/960 z^5 (-15 e pi-20 e pi^3-32 e pi^5+520 sin(1)-808 cos(1)) + ...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(e%2F(z^2%E2%88%924))+*tg(%CF%80z+)+%2B+sin(z%E2%88%921)%2F(z-1)


Dus wat kies je? :p
msonneve
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
heeft den knop voor het posten van berichten gevonden!
Berichten: 14
Lid geworden op: 30 dec 2008, 11:41

[Opgelost] Re: Laurent reeks van tangens

Berichtdoor msonneve » 09 jan 2010, 14:03

oki! Goed om te weten. Wat een instinker!

Terug naar “Complexe analyse”

Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

cron