Pagina 1 van 1

[OPGELOST] Variatierekening

Geplaatst: 22 aug 2009, 09:55
door AdamCooman
Opnieuw een deel uit de mail van Maxime, met een antwoord van Cara himself. Danku maxime

H10: pagina 125 geval n=1, tweede geval onderaan de pagina. Als f
niet afhangt van x, dan begrijp ik dat I er zo uitziet. Maar wat er
dan gebeurt begrijp ik niet. Kan u dit kort uitleggen?


Jazeker... Wat er net na de I staat, valt een beetje uit de lucht. Ons
doel is een differentiaalvergelijking te maken en daarvoor willen we
aantonen dat een zekere uitdrukking constant blijft in de tijd (die we
hier x noteren). De geschikte uitdrukking blijkt hier
f - y'del(f)/del(y') te zijn.

Dus die uitdrukking kan je moeilijk snel zelf raden en verschijnt hier
dus uit het niets. We gaan na dat die uitdrukking constant blijft.

Hiervoor berekenen we de (totale) afgeleide naar x. Vermits het hier
gaat om een verschil van twee functies kunnen we eerst df/dx berekenen.
Vermits f afhangt van de veranderlijken y en y' die zelf afhangen van
x, moeten we de kettingregel toepassen en krijgen we

df/dx = del(f)/del(y)*dy/dx + del(f)/del(y')*dy'/dx
of
del(f)/del(y)*y' + del(f)/del(y')*y''

De tweede term in het verschil is een product. We krijgen dus

d/dx(y' * del(f)/del(y)) = dy'/dx * del(f)/del(y') + y' *
d/dx(del(f)/del(y'))
of
y''*del(f)/del(y') + y'*d/dx(del(f)/del(y'))

Als we alles samen zetten, krijgen we de uitdrukking in het boek. Hier
zien we direct dat de twee middelste termen wegvallen. De overblijvende
termen zijn de Euler vergelijking, vermenigvuldigd met y' en
overgebracht naar 1 lid. Dit is dus ook nul. Hierdoor is de gegeven
uitdrukking dus constant.

Re: [OPGELOST] Variatierekening

Geplaatst: 22 aug 2009, 21:05
door Joerie
Uhu... Heeft hij de laatste les gezegd, heb ik bijgeschreven in mijn boek :p
Gaat gij daar nooit naartoe ofzo? :D

Re: [OPGELOST] Variatierekening

Geplaatst: 23 aug 2009, 08:42
door AdamCooman
dat is nu toch al efkes geleden zo'n dingen onthoud ik nie ze